DES FONCTIONS X„. 9 



XIII. Remarque. — Si Ton fait abstraction d'un facteur numérique (*), on a 



rf-(* s -iy 



^b = ; ' 



Donc l'égalité (P) peut être écrite ainsi : 



g^^-iy; rf^x'-O- 



' rfx-" l ' dx" + " w 



En conséquence, on a la proposition suivante, énoncée par M. Lucien 

 Lévy, dans le Journal de M. de Longchamps (1884., p. 71) : 



XIV. Théorème. — Si l'on prend les dérivées successives de la fonc- 

 tion (x 2 — l) n , la dérivée d'ordre n — p est divisible, algébriquement, par 

 la dérivée d'ordre n + p : le quotient, égale (y? — l) p (**). 



Liège, 1 er décembre 1887. 



ADDITION. 



XV. Une sommation. — On connaît, depuis longtemps, la somme de la 

 série 



X, + X, + ...+ X, + ™ (***); 



Mais il n'en est pas de même, peut-être, pour la quantité 



X, -+■ x 2 + ... -*-X„ = S n ; 



bien qu'il soit assez facile d'en trouver la valeur. 



(*) Il est commun aux deux membres de (N). 



(**) J'ignore comment M. L. Lévy est parvenu à cette remarquable proposition, qui 

 complète mes recherches sur les fonctions X r- . On voit qu'elle résulte, fort simplement, de 

 l'équation (9). 



(***) Premier Mémoire, p. 60. 



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