10 NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



On a, entre trois fonctions consécutives, la relation 



dX„_, </X„ d\„ +l 



X„ = ^i-2x^i- t --^0, (16) 



dx dx (Ix 



que l'on peut écrire sous ces formes successives : 



,IX„ rfX„ , </X„ dX„ + , 



X„ - 2(1 — x) —=■ = — 2 — •*- — — , 



v rfx rfx dx dx 



-^ -^^, - f fg^^À^l, 



21/ 1 — x < /x 2V/i — x L rfjc dx rfa: J 



■jjx.t^ï^) + < p /x -< grfx.^g^-l (d7) 



dx 2V/l x L f ' x rfr ^ J 



Si, après avoir multiplié par dx, on intègre, on a donc la formule nouvelle: 



xrfX... dx, rfx„ +1 



*! (lx dx dx-on . . . . (R) 



XVI. S«*te. — Dans cette relation générale, changeons n en n — 1 , n — 2, ..., 

 3, 2, 4 ; puis ajoutons les résultats. Sous le signe d'intégration, tous les 

 termes se détruisent, sauf trois d'entre eux (***). Donc, à cause de§ = * : 



S„=— 1— / "*" "* l ' X dx (S) 



2i/r=^K t/i-x 



Telle est la formule que nous nous proposions d'établir ( IV ). 



(*) Bertrand, Ca/cu/ différentiel, p. 3o8. 



(**) Le premier terme s'annulant quand .r = l, il en doit être de même du second. 

 D'ailleurs, pour ne pas effectuer un changement de signe, nous prenons, comme limite 

 inférieure de l'intégrale, le maximum de x. 



(***) On pourrait remplacer le numérateur par A 2 ^; mais cette transformation ne 

 erait qu'allonger le calcul, très simple, indiqué dans le texte. 



f) Nous y sommes parvenu par un procédé très différent de celui-ci. 



