4 NOUVELLES PROPRIETES 



ou encore, en changeant n en n + p : 



_!î±l »=" d"X. . 



■I.3.S...2P— l(l-2îx-t-z 2 ) ' =2 —r^J" (20) 



Le premier membre égale 



1 . 5. 5 •.. 2/> — I (X„ +- X,: -h Xjz" + - 4- X^' -.- •■•)"+ '• 



Dans le développement de la puissance 2/> + 1, le coefficient de 2" est 



etc. 



X \ 1 1 . Une modification. La formule 



2"+' p*- 



X„ = / 2 cos"<p(.t cosç +1/— 1 sin<j>)"<i<p, (21) 



n 



dans laquelle le second membre est supposé réduit à sa partie réelle (*), peut 

 être remplacée par celle-ci : 



x„ = 



— / sin"cp(jr sintp -\-V — 1 cos(p)"d<p («') 



En effet, si l'on développe la puissance n 1 '""' de .rsin y -f- |/ — 1 cos j>, les 

 termes contenant des puissances impaires de cos <p donneront des intégrales 

 nulles; et les autres, des intégrales dont les éléments sont égaux, deux à 

 deux; etc. (**). 



<i.i'i 



XXIII. Problème. — Evaluer^ 

 On a, immédiatement, 



rf»X„ 2" 



px y / / — ■ — 



_ï = — n(n — 4} . . . (fi — q ■*- 1) I si n"+''<p (.*• sin <p -+- V — 1 cos tp)" Hly . (C 



r/x 1 t . / 







(*) Premier Mémoire, p. 12. 



"j Cette formule (B'), que j'aurais du trouver en 1875, nie paraît bien préférable a celle 

 de Jacohi. Malgré toutes mes recherches, j'ignore si elle est nouvelle (mai 1888). 



