\t NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



XXXVII. Théorèmes d'arithmétique. — 1° Les nombres entiers 



contiennent, un même nombre de fois, le facteur 2 (*). 



2° Si n + \ est un nombre premier, supérieur à 2p — 1, on a 



2c**,*, c tjS , p , ...c 9U .= t m.( M + i) (") ("') 



XXXVIII. Problème (***). — Trouver 



S = y° C Q„„x" f ,v ) (40) 







On ;. (XXVI) 



^ /"f 



C, =-2*" / cos*"cd cos Ikn — '2n)<v<lw. 







donc 



S = - / rf(f2 2*"a:"COS*"<pcos(fc« — 2w)«p (30) 



n 



La somme de la nouvelle série, que nous représenterons par 2 ( v ), est la 

 partie réelle de 



1 l~ 2*i c.os*<p<r <*-*'? "^ 



1 — 2*.r cos'cpe'*- 21 ? ,-,ri ~~ 1 — 2* + ':r co 5 *<p cos (/.• — 2)cp + 4V eos 2 *<p ' 



(*) La démonstration directe est fort simple. Il en est de même pour cette généralisation 

 remarquable, qui m'a été communiquée par M. Neuberg, mon savant Collègue : 



q étant premier, les quantités 



ce 



contiennent, un même nombre de fois, le facteur q. 



(**) Ce que nous venons de dire s'applique à ce second théorème. Si l'on emploie la 

 relation (E'), on reconnaît aisément que le second membre est divisible par n ■+ 1. 



(***) Suggéré par ce qui précède. 



( 1V ) On verra, plus loin, quelles sont les conditions de convergence, pour k=i, k = "2, À— 3. 



( v ) Si l'on suppose 2'x > 1 , cette série est divergente ou indéterminée. Si 2*3? = !, 

 elle se réduit à 



I -4- cos* f cos (A- — 2) f -+- cos" f cos (2A- — i) f ■+■ cos 5 * f cos (5/c — 6) f ■+- • • ■ 



Convergente pour <p > 0, celle-ci devient divergente quand 9 = 0. Nous devrons donc, 



l 

 dans ce qui suit, prendre X < — k ■ 



