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NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



\l\. Une intégrale double. — Dans le second (*) Mémoire sur les 

 fondions \ B) nous avons démonlré ce ihéorème (**) : n étant impair, 

 et 0„ représentant ce que devient x n quand on y remplace x par cos 8, on a : 



" 27T./ 



Il 



La formule 



sin(«-t- l)(6-t-a) sin(» -t- l)(9 — a) 



sinie ■+- a) 



sin(8 — a) 



rfo (•"). . . (30) 



-2" r~ 



X„=— / siii"<p(cosa sintp -+- V — I coscp)"</cp (B') 



donne 



2" /'~ 



0„ = — / sin"<p(cos8 sin<j> -+- V — I cos ç)"(/<p (40) 



n 



Par conséquent, la relation (39) est transformée en celle-ci : 



COSO» 



Mil (H 

 S 



/ / sin"cp(eos<S sincp -+- V — 1 



n il 



= 2x / sin"<p(cosa sintp -+- 1/.— 1 cos<p) n d<p 



o 



qu'il serait, peut-être, difficile de vériGer ( ,v ). 

 XLII. Développement de X 2n — X 4 „ . On sait que 



.+- n(e-+-a) sin(»n-l)(e — «H 



— î H ï f/rnrfO 



n (9 -+- a) sin (fl — a) 



(41) 



(42) 



(*) Devenu le deuxième. 



[**) Page 66. 



(***) On ne doit pas oublier que a; = cos a. 



( IT ) Si, dans le premier membre, on suppose effectuée l'intégration relative à e, 



il prend la forme f sin"y f(y)dy. Est-il sûr que la fonction f{<p) soit égale à 



~2ir (cos a sin ? -+- (/ — 1 rus )»)" '.' 



Je ne le pense pas. Néanmoins, l'identification réussit quand n = I . 

 *l Premier Mémoire, p. 11. 



