i8 NOUVELLES PROPRIETES 



Dans le dernier produit, les facteurs pairs sont : 



2»i -+- 2f/ -t- 2 = 2(u -+- 7 -t- 1 ), 2»i -4- 27 + i = 2(« -4-7 -4-2), ... 4m- 2r/ = 2(2» -+- 7) 



De plus, il y en a n. Donc 



H», = 2" (nn v -4- 1 ) (« -+• 7 -1- 2) . . . (•-'» + 7) ) 



X[(2« — 27 + 2)(2n— 2<jr-+-4)...(4n— 29)±(2n + 2qf-^l)(2/i-t-27-+-5).. (4m 2?— 1)1 ' 



puis 



(;/ -4- f/ -4- I) ... (2» -+ 2o) ) 



PL = (- I »+' 2" — - ! : ! ^~ 



' v 1 .2. ..27 X I .2... (2n —7) (4!>) 



X [(2n— 27-»-2)(2n— 2qn-4)...(4n— 27)±(2n + 27-t-1)(2»n 27-1-3) (411-4-27 — t)]] 



XLlil. Lemme. — Soient a, b, c des nombres entiers, et 



N = (a -t- c) (a -4- 2c) ... (a -4- nc) ± (6 -+- c) (6 -4- 2c) ... (6 + ne) (*j . 

 On a 



N = 3H,[« -+- b + (n -1- l)c] (50) 



En effet, la seconde partie de N peut être mise sous la l'orme : 



± [«+-/(-4-(ji-4-l)c — (o+«c)] [o+6r4-(n-4-l)c — (H-4-n — le)] ... [« -4- fc + (« + l)c — (a-+-c)]. 



Donc 



N = (a -4- c) (a -+- 2c) ... (a -4- wc) ± JTL( a-t-6-4-(n-t- i)c| — (« -4- »c) (« +»* — le) ... (a -4- c); 



etc. (**). 



(*) Un prend le signe h-, si /( est impair. 



(**) La fonction N, rencontrée par hasard, suggère les questions suivantes : 



1" Discuter les cônes dont l'équation est 



(x -4- s) (as + 2z) ... [x + nz) = (y -t- a) (.1/ * ïz) ... {y -t- nz) ; 



2° Discuter les lignes représentées par 



(x — \)(x -->)... (x - n)=(tf— l)i.v -â)...(jy-n); 

 etc. 



