20 NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



Lorsque a?— 1, la vraie valeur de la fraction est 



(dX iH \ I dXt, 

 dx I \ dx 

 c'est-à-dire (*) : 



I) An ('in + I) 



1 [~2n(2n 



~2\_ 2 



= - n . (in -t I ) . 



2 ^ • ' 



D'un autre côté, le dernier ternie du quotient cherché doit être — N^ar*" 3 . 

 Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : 



XliVIII. Théorème. — Les coefficients N , N a , ... N 4)1 satisfont aux relations 



(2n)N + (2n — l)N s +■••-»- .\„_ s = - 10" . n(6n -t- 1) (52) 



N„ -h N,+ i\ -»-••• +N„ = • (55) 



XL1X. Vérification. — Lorsque n = 3, la première égalité devient, après 

 suppression du facteur 19 : 



— 146. 6 -t- 5 208 . 5 — 51 060 . 4 -+- 218 OGi . 5 — 457 580 . 2 + 4(18 408 = - 16'' : 



ce qui est exact. 



De même, la seconde se réduit à 



— i I -+- 5 208 — 5 1 660 i 218 064 — 457 580 -t- 408 408 — 1 42 524 = , 



OU 



— 651 680 + 651 680 = 0. 



L Lemme. — Soit f(x) un polynôme entier, du degré ni. Si l'équation 

 f(x) = a toutes ses racines réelles, l'équation f' 2 — ff" = a toutes ses 

 racines imaginaires (**). 



(*) Premier Mémoire, p. 19. 



(**) Propriété presque évidente. Dans le tome III des Mélanges mathématiques, nous y 

 reviendrons. 



