DES FONCTIONS \„. 21 



M. Corollaire. — L'équation 



(tr-^=° <»> 



dont le degré est 2n — 2, n'a aucune racine réelle. 

 Soit, par exemple, n = 4-, auquel cas : 



i ->o 60 



Xi = -(ô:>.i ' — 50 x- -+- 5), X' = — (Tx 3 — axj, X ' = — (7x- — I) . 



L'équation (54) devient 



20(7x 5 — 3x)- — 5{55x' — 50x 5 -+- 5)(7x* - l) = 0, 



OU 



Mbx« — 105x' -+- 27 x 1 -.-9 = 0; 



et les racines de celle-ci sont imaginaires. 



Ml. Intégrale définie remarquable. — Dans nos précédentes recherches 

 sur les fonctions X„, nous avons omis de mettre, sous forme d'intégrale 

 définie, la quantité u — (4 — 2z# + **)"*', fonction génératrice de X„. Le 

 problème est facile à résoudre. 



En effet, si l'on écrit, par exemple, 



x. = /"V. (•>■.•)'"; ( : > 5 ) 



on aura, par la sommation de la série 



( <x, S) + zf\(x, 6) + rf.jx, S) + ... , , 



r \ m 







S désignant la somme dont il s'agit. Seulement, la quantité f n (x, 8) doit être 

 convenablement choisie. 



