22 NOUVELLES PROPRIÉTÉS 



La solution la plus simple résulte, croyons-nous, de la formule 



X„ = - / * (2 cos_cp)" (x cos 9 + V— 1 sin 9)" f/(p , (21 ! 







dont nous avons déjà montré l'utilité. 

 Soit donc, en négligeant le facteur-, 



S = I -t- îz cos 9 {x cos 9 + V— I sin 9) -+- (2? cos (p) 2 (jc cos 9 +• k' — 1 sin <pr ■+■ • •• 5 



le second membre étant, bien entendu, réduit à sa partie réelle. 

 Opérant comme nous l'avons fait ci-dessus (XXXVI), on trouve 



I I — 2zx cos 2 9 



1 - 2zcos9(xcos<p + K — 1 sin <p) !' Yl T 



puis, au lieu de la formule (56) : 



I 2/1 ' — ~- J ' C,JS ' 1 ? 



= _ ' / ! — 'to , 



_ .-,,,,, ■ jr / (1 — 2zx cos 2 (p) 2 + ir 2 cos 2 9 sin 2 9 



OU 



1 — ~izx cos 2 a> 



l 1 — -2zx 



_ _ / . i </9 



k , f I -t- '< ( " — x) z cos 2 9-4- 4z 5 (.1 2 — I ) cos' 9 



(K') 



Voici donc une intégrale définie qui satisfait à la question proposée (*). 

 Comme elle contient deux paramètres, on pourra, si Ton veut, en déduire 

 des séries d'autres intégrales, plus ou moins remarquables. 



!*) La formule de Jacobi réussit moins bien. Il en est de même, à peu près, pour 

 l'expression de X„, donnée à la page 13 du premier Mémoire. 



Dans la Théorie des fondions sphériques, du regretté Beine, on trouve (T. I, p. 36), 



celte autre formule, plus simple que (k') : 



,t _ f* jh 



I — izx -+- :« n / sx — ; cos <r\/x* — 1 — ' 



l/l _2z.t+ :* „ / zx — zcmrV<c- — i—\ 

 Tout récemment, M. Hermite m'en a donné une démonstration simple et élégante, 



