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qu'il avoit donnée dans les Mémoires de l'Académie de 1779} il observe 

 que dans le cas oîi 



a* = 4 J , 



la même méthode d'intégration ne peut plus être employée , mais 

 qu'alors on peut ramener l'intégration de l'équation proposée à la 

 suivante : 



d'^u du 



ds' dx' 



b / ax \ - 

 ons=j, ttoc'=-- ~\^j — j, 



sont prises pour les deux variables indépendantes , et oii u est une' 

 fonction dont dépend la valeur de z. Celte équation 



d^u du 



ds'' dx' 



est remarquable en ce que son intégrale complette ne contient qu'une 

 seule fonction arbitraire , ainsi que l'a reconnu et démontré M. Poisson , 

 dans le i3«. cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. Il avoit montré 

 que l'intégrale , qu'on ne peut obtenir sous forme finie , étoit hus- 

 ceptible de deux développemens , l'un suivant les puissances de a:' \ 

 avec une seule fonction arbitraire , l'autre suivant celle de s , avec 

 deux fonctions arbitraires qui se réduisoient à une seule. M. de Laplace 

 donne l'intégration de la même équation à l'aide d'une intégrale dé- 

 finie , et fait voir que dans l'intégrale en série qui contient en appa- 

 rence deux fonctions arbitraires , les termes oit entre l'une d'elles sont 

 donnés par ceux de la fonction arbitraire de l'intégrale définie oii il 

 n'y a que des puissances paires de la quantité dont elle est formée, 

 et les termes oîi entre l'autre par ceux de la même fonction oit il n'y 

 a que des puissances impaires de ia même quantité , en sorte qu'en 

 réunissant ces deux sortes de termes , on ne fait que réunir tous ceux 

 d'une fonction arbitraire unique. 



Le troisième article a pour objet le passage réciproque des résultats 

 réels aux résultats imaginaires. L'auteur , après quelques considérations 

 générales , en déduit des valeurs remarquables pour les intégrales de 

 , pdjc COS. ce p dx sin. x 

 la torme f — . f ^„ ' ■' , prises entre diverses limites, 



