( 244 ) 



omiée 1782, pn^c 11); et pour réunir sous un même poiiit de vue ce 

 (ju'ou a trouvé de plus géuéral jusqu'à présent sur les intégrales délînies, 

 nous commenterons par nous occuper de celles qui renferment des 

 exponentielles. 



Considérons l'intégrale l e~^ .a.^~'.rfr, prise depuis a; =: o jusqu'à 



I 



X ^= — '•) e étant la base des logarithmes hyperboliques, n et p des 



o 



nombres entiers et positifs. Nous les supposons positifs , pour que la 



n 



fonction e~^ ,a-f~^ ne devienne jamais infinie dans les limites de 

 l'intégrale , et entiers, parce que s'ils étaient fractionnaires, on pourrait 

 faire disparaître leurs dénominateurs par une transformation ircs-simple. 

 Comme nous avons pour objet de comparer entre elles les valeurs de 

 cette transcendante qui répondent à un même exposant Ji et à différentes 

 valeurs de p , nous la regarderons comme une fonction de p , et nous 

 la désignerons par (f/j , de sorte que nous aurons 



Ig~^ . x''~' .djc =: (pp. 



En intégrant par parties , il vient 



/" 1 '^ n /^ 



a: 



P^^-'.dx 



f 



aux 



deux limites .r = o et x= — ; le terme e ^ .x^ s'évanouit; on 



o 



a donc , en passant aux intégrales définies , 



n 



<^p=z — .<^{p-\'n)', 

 P 

 équation qui montre que la valeur de i^{p-{-n) se déduit immédia- 

 tement de celle de <^p ; d'où l'on peut conclure que si l'exposant y» sur- 

 passe n , on pourra le ramener successivement à p — n , p — 2// , 

 p — 3n , etc. , jusqu'à p — in , i étant le plus grand multiple de n qui 

 soit compris dans p. Ainsi , il sera inutile de considérer des valeurs de 

 p plus grandes que n , et le nombre des transcendantes réellement dis- 

 tinctes , comprises dans <pp et résultant de toutes les valeurs qu'on peut 

 donner a p, est simplement égal à n. Quand on suppose p ^=.n, on a 



f 



n 1 ' 



n 



