n 



faisant donc oc '^ =■ t , il viendra 



et l'intégrale sera toujours prise depuis f = o jusqu'à t = — ; égalant 

 deux valeurs de 41 ( — ) , et supprimant le diviseur commun n , 



ces 

 il vient 



J^e-''.dt = -^.\/7; 



résultat remarquable par sa simplicité , et auquel Euler est le premier 

 parvenu. 



Maintenant , considérons les intégrales des formules qui renferment 

 des cosinus ou des sinus , et soit 



fx''~' ■ cos . (a -h x") • dcc '— ■Jf.p , 

 a étant une constante quelconque , n et p des nombres entiers et posi- 

 tifs , et l'intégrale étant prise depuis ccz=o jusqu'à x= Multiplions 



cette équation par celle-ci , 



nous aurons 



ç{n—p).-\p= re-r"j''~r'-' . dj . JxP-'.cos {a + x") . dx 



= /A'e-r"j-"-p-'.a:P"-'.oos (et -|- x'').cljdx. 



Substituons , comme précédemment, une nouvelle variable 2 à la place 

 de j , et faisons y^^xz, et, par conséquent , dj = xdz, cette dernière 

 équation deviendra 



(p(n — p).-\p- /y'e~''"'''\z"-P~\ x"-'. cos (a-hj:'').dzdx. 



Dans celte inlégiale double , nous commencerons par celle qui est 

 relative à a.; or, en intégrant par parties , il vient 



/e--^"»" . a:"-', cos (a+ *") . dx = — .e— '"'" . sin (a+ x") 



^ z" . f e-""'" . x"-' . siu {a + x") . dx , 



