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directrice forme avec les plans zj-, xz, orj, le momenl d'iuerlie minimum 

 égale 



2mmW|r/'z"+xz'j~"+iry" — rz y" —yx z" —zy'x" Y[i — C05'(.r)')— cos'(ii)— cos'(j^:)+2cos(Ty)cos(arz)cos(/z)) 

 2 mm I {JZ— ~y) !.in ( y~) sin (A ,yz) ■¥ [Z-x — xz) sin [xz) sin (A', xz) + [xf—jx ) sin [.t^) sin (A, xy) J » 



Ici le numérateur est la somme des produits 3 à 3 des molécules mul- 

 tiplié chacun par le carré du volume du parallélipipède construit sur les 

 trois droites menées de l'origine aux 3 molécules prises comme arêtes 

 conligues ; le dénominateur est la somme des produits 2 a. i des molé- 

 cules multiplié chacun par le carré de la projection orthogonale du 

 parallélogramme construit sur les deux droites menées de l'origine aux 

 deux molécules comme côtés contigus , cette projec'.ion étant faite sur 

 un plan perpendiculaire à la directrice. 



L'auteur démontre , que si l'on prend un système d'axes coordonnés 

 choisis de manière que le plan des xy soit le conjugué de la direc- 

 tion arbitraire de l'axe z , c'est-à-dire , que ce plan soit celui par rap- 

 port auquel l-mz^ est un minimum \ les deux intégrales fî, Fou'Lmxz, 

 'Lmjz seront nulles , et cela quelle que soit la direction des x et des y 

 dans le plan conjugué. On fait voir en outre , que dans ce même plan 

 on peut prendre une infinité de systèmes d'axes des x , j , liés 3 à 2 

 par la condition D = 'Zmxf = o. Chacun des trois plans d'un pareil 

 système jouit de la même propriété à l'égard de l'axe qui est hors de 

 lui , que le plan xj- à l'égard de l'axe des z. 



Pour un tel Systems d'axes , on aura donc D r= o, E = o , F= o . 

 quelle que soit sa direction ; en partant de là on trouve entre les momens 

 d'inertie niinima , A, B, C pris relativement à ces plans coordonnés 

 conjugués , trois relations ou théorèmes généraux , qui consistent eu ce 

 que 



ylBC{i — cos'' {xj) — co?,-'{xz) — cos^ {jz)-\-2C0S {xy) cos (xz) cos {jz) ) , 



BC sin' ( ;■:; ) -H AC s'nV- {xz)-lr AB sin' ( xy) , 



A^B-^C , 



sont trois quantités constantes , quelle que soit la direction des axes con- 

 iuf'ués qui répondent à l'origine donnée. La première est la somme des 

 produits 3 à 3 des molécules multiplié chacun par le carré du parallé- 

 lipipède construit comme nous avons indiqué plus haut ; la seconde est 

 la somme des produits 2 à 2 des molécules chacun multiplié par le 

 carré de l'aire du parallélogramme , dont nous avons aussi dit la cons- 

 truction ; la troisième est la somme des molécules multipliée chacune 

 par le carré' de sa distance à l'origine. Si on désigne ces trois quantités 

 par ■sr" , w' , ot ; on trouve que l'équation Pî — wP^ -f- v' P — ts-" = o , 

 a pour racines les trois momens d'inertie pris relativement aux plans des 



