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liers de prcmicre cspt'fc. C'csl en gcnéralisanl les principes renfermés 

 dnns le mémoire de M. Poinsot , que JM. Caucliy est parvenu à faire 

 dériver les poly (Vires réguliers d'espèce supérieine de ceux de premitTC 

 espèce, ce qui l'a conduit d'une manière simple cl analylique à la solu- 

 tion de la question qu'il s'était proposée. 



Il commence par prouver que dans un ordre quelconque on ne peut 

 construire des polyèdres rét^ulicrs d'espèce supérieure , qu'autant qu'ils 

 résultent du prolongement des arêtes ou des i'aces des polyèdres régu- 

 liers du même ordre et de première espèce , qui leur servent de noyau , 

 et que dans chaque ordre les faces des polyèdres d'espèce supérieure 

 doivent avoir le même nombre de côtés que celles des polyèdres de 

 première espèce. 



Il suit de là que comme il n'y a que cinq ordres de polyèdres ré- 

 guliers de première espèce , on ne doit chercher que dans ces cinq 

 ordres des polyèdres réguliers d'espèce supérieure; en sorte que tous 

 les polyèdres réguliers , de quelque espèce qu'ils soient , doivent être 

 des létraèdres , des hexaèdres , des octaèdres , des dodécaèdres , des- 

 icosaèdres. 



Après avoir donné la solution principale , M. Cauchy examine com- 

 bien chaque ordre renferme d'espèces différentes ; et il conclut de ses 

 recherches qu'on ne peut former de polyèdres réguliers d'espèce supé- 

 rieure que les quatre décrits par M. Poinsot. 



Dans la seconde partie de son mémoire , M. Cauchy généralise un 

 théorème d'Euler relatif à l'équation qui existe entre les différcns élé- 

 mens qui composent la surface d'un polyèdre. 



Eulcr avait démontré que le nombre des sommets ajouté à celui des 

 faces surpassait de deux imités le nom];re des arêics. 



M, Cauchy a étendu ce ihcorcme de la manière suivante : 

 Si on décompose un polyèdre en tant d'autres que l'on voudra , en 

 prenant, à volonté, dans l'intérieur de nouveaux sommets, la somme 

 faite du nombre des sommets et de celui des liices surpassera d'une 

 moitié la somme faite du nombre des arêtes cl de celui des polyèdres. 

 Le théorème d'Euler n'est qu'un cas particulier de celui-ci , dans 

 lequel on suppose qu'on ne considère qu'un seul polyèdre. 



M. Cauchy , en décomposant le polyèdre , déduit de son théorème 

 général un second théorème relatif à la géométrie plane. Si on prend 

 une des faces du polyèdre pour base , et si oi! transporte sur cette face 

 tous les autres sommets sans changer leur nombre , on obtient une 

 figure plane composée de plusieurs polygones renfermés dans un con- 

 .tour donné. Dans ce cas , la somme faite du nombre des polygones 

 et de celui des sommets surpasse d'une unité le nombre des droites 

 qui forment les côtés de ces polygones. M. Cauchy parvient directe- 

 ment à ce résultat en égalant à zéro , dans son ihcorènie général , la 



