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M. Lagrange est parti dans un Mémoire sur le mouvement de rotation 

 des corps (Académie de Berlin, 1775). 



Ces deux formules sont du même gem-e que la suivante 



C uxY''z" — uxzj'"-i-iiYz''x'''—uyx''z''+uzxy''~uz:y'x"'+xyuz''—ry'zu'-^xzy" •»> 



^\+ y-z\i'x"'—Yz'x''u'+yuJc''i:''—yuz'x"+jxz''ir—yxUi:'z'-^-zuy''x'''—iUxy'"+zxy''u:"—zxuy" ) ^') 



— 2,i':ij:'2jr"2z»— 2u>2x'(2^x)'— 2«'2jkH-^=)'— -«'•-^'('Ï^T)'— ^■^'-y'(-""0'— -^'-♦'(^"^^^ 

 + 2 Zu» Txy "Zxz "Zf-z + 2 2t» 2u^2 «îTjti + 2 5y 2kj: Jkz 2ars + 2 2»' "Eux tuy 'Zxy 



+ ( ^ui-y (2>t)' + (Siy-)' (-=f^)' + (-"=^''° (2^/)' — 3 -"* --^-y --^^ -^" ~ ^ - "-X 2r= -^^î^ ^^« — 2 ^'y ^^-^ 2"« izu. 



On peut les regarder comme les trois premières d'une suite de for- 

 mules construites d'après une même loi facile à saisir. Leurs seconds 

 membres sont des expressions qui se présentent dans diverses recher- 

 ches d'analyse ; par exemple elles entrent dans les dénominateurs des 

 erreurs moyennes à craindre sur les valeurs des élémens déterminés par 

 un grand nombre d'observations , en employant la mélliode des moindres 

 carrés des erreurs , c'est-à-dire , d'après ce que xM. Laplace vient d'éta- 

 blir {voy. l'addition à la Connaissance des tems , de i8i5), la mé- 

 thode qui rend un minimum l'erreur moyenne à craindre sur chaque 

 élément ; c'est même la raison qui fait qu'elles entrent dans les formules 

 des axes conjugués , parce qu'on y rend aussi minimum une somme de 

 carrés d'expressions linéaires. 



Lorsqu'on multiplie S« par 'Lh , par 2c, etc., on trouve aisément 

 que 



labc" = 'Sa >i ?c — 7a Jbc — rt lae — 7e TaJ + 2 Tabc , (2) 



2ûè'cV'= SaZbrcyd— Za-ib Zcd -~7a7c ^.bd — 7a7J^.bc— ri Te Tarf - JbYdJac — YcTil'Sah 



^- aXa J.bcd+ 22b X cda-\- 2 ScZc/ai + a Hd labc + "L ab 2c(/ + lac 1bd+ Xad Ibc — 6 X «icd + (5) 

 etc. 



Nous remarquerons en passant, que si on pose a = a,'' , a' = (3'', 

 a" = y'-, etc. j b = ocr', l>' = (i'-', b" = y'', etc. ; c = «'-", c' = ^'- ', etc., 

 il résulte de ces dernières 



,-?«'• /S'-' = Sa-- Sa'-' — Sa'-*-'-', 

 S«'-r'y''" =S«'' 2a" 7:cc''ll~-Xu'-X»'-'-*--"— Xa" •Su.--*'-" — Sar" X «.•- + • ' + 2S«'-+:'-*T», 

 Sa"" |S" v"' ^'" = Sa'' Sa'^' 2a'"" S*'''" — 2a'' Sa''' Sa''"'*''''" — etc. , 



etc. 



formules dont on se sert dans la théorie des équations. 



Considérons d'abord 2 ( jz' — zj' y. Développant chaque carré de celte 

 somme , on a 



s ^yz' — xy' y r= S^^i" — 2 "Zyz.y'z' ; 



