D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE. 39 



4. Troisième propriété. En général, 



Soient 



« = - , « = : 



I- (1 -4- a-)' 



et, par conséquent : 



„'=-!, ""=1.2^- ... w'-' = (-1)"l.2...«^; 

 ,_ y „ p(p+i) ^.,„i_, I p(p-*-^)-"(P + » — <) 



La formule de Leibniz est 



= M<"'i' + C„,,u'"-"i;' -t- C„.,h("-"u" -*- - + C„.,uV" " + mu'"'. 



rfx" 



Donc 



d"}) J \.^...n l.2...n— Ip , 1.2.../»— -J/>(p+1) p(yj+l )...(p-t-)»-1) ] 



rfi^^^~^' [x"+'(l-f-x)''"^ "•' x"{l+x)''+' "^ '"'"x'-^l-i-x/^-* '*"*'"*' xll+x)"-^" j' 



ou 



rfx 



!x" x"+'(-l +X)'' |_ \l+x/ \l-+-x/ Mh-x/J 



etc. 



3. Remarques. \. Le polynôme entre parenthèses, dans la formule (3), 

 est la somme des ?i + 1 premiers termes du développement de f 1 — -ç^j ''• 

 En le désignant par P„ + ,, on a donc 



x"2 = (-l)"i/I^('t + l)P„+. (4) 



IL On a aussi 



(I ■+-x)"P„+, = (l +x)" +C,,,x('l +x)"-' + C,+,,,x'(t +x)'-'-»---i-C„^.,,„x". 



