40 NOUVELLES NOTES 



Dans h» relation générale (B) (*), changeons q en /;, et p — q en p. Elle 

 devient 



(I -t-a:/' + Cp,,x(l -Hx)"-' + •■•-)-Cp+„_,j;"=l -hC„+^,,x -* C„+p,2x' + ••• + C„+,,,x". 



L'égalité (4-) peut, en conséquence, être écrite ainsi : 



dx" (I -+- x)''+" 



Q„^, représentant la somme des n + \ premiers termes du développement 



de (1 + xy^P. 



III. Dans ces dernières formules, p est un nombre quelconque. 

 6. Quatrième propriélii. Si l'on fait 



^-'^,-n^)^ (^'i 



dx'"' 



on a 



A*)-^/'(^) = (-n'-'riP) (7) 



D'après la formule (S), 



f\T)={— 1)"-' ^'4;zt[' ■*■ c,p->.i^ ■*- '-^P-', îi' + • • • + c,;,_,,^_,x''-']. 



( I -t- Xj 



Donc 



Hi) =(- ')' ' (T^J^pîLx'-' -*- Q,.,.x"- ^ •• • -. C.,_,,x"]. 



Le premier polynôme est ce qu'on peut appeler la première moitié du 

 développement de (1 + xy^-'; l'autre en est la seconde moitié, etc. 



7. Cinquième propriété. Si l'on prend les dérivées successives de 



1\ 



on a 



/<•") (X) + /■!"" (-) = • («) 



.\(j/<? I. 



