D'ALGEBRE ET D'ANALYSE. 45 



Changeant q en 1 + n + q, nous trouvons, au lieu de cette formule, 



en posant 



C, = Cp+„+„ ,_, .{n-^-q){n — \-i-q)...{i+ q). 



Il est clair que 



f ', = t (n ■+■ 1) Cp^„(.,. p_, C„^.,,„. 



Par conséquent, 



etc. 



i i . Cas particulier. Si n = /) — 1 , 



-rri;ïi^".-=2 (-^r'W.,...w..„.x' .... (n) 



12. Remarque. Dans la formule (10), p est un nombre arbitraire. La 

 formule (7) semble donc subsister pour des dérivées à indices fraction- 

 naires, incommensurables, etc. (*). 



13. Une série récurrente. La combinaison des égalités (4), (10), donne 

 facilement 



(1 + a')"-^" - Q"+' = x"+' {\ + ^r' 2*(- l)'C„+,.-..C„+,,+,.,_,x'. 







Et comme Q„+, est la somme des n -\- \ premiers termes du dévelop- 

 pement de (1 -|- a;)''"^"(5, II), il vient, par la suppression d'un facteur 

 commun : 



Cn+p.p-l -+- C„^_p_p_sX -1- ... -+- X 



(\ -\- x)"-*-" 



— =2"(-^)'C«+„».C„+,+,.,_.x'. . . (12) 



(*) La théorie des différentielles à indices quelconques a été inventée, en grande partie, 

 par Joseph Liouville, mon illustre maître. Faute de temps, je dois me contenter de signaler 

 ce rapprochement. 



