46 NOUVELLES NOTES 



1 7 . Septième propriété. L'équation 



dx" 



a une seule racine réelle, si n est impair; elle n'en a aucune, si n est pair. 

 Nous avons trouvé (S), comme valeur du premier membre, 



T{71 -^ 1) ^ 



en supposant 



Or, d'après un théorème de Sylvester (*), l'équation Q„+, = n'a pas 

 plus d'une racine réelle. 



VI 



GÉNÉRALISATION D UNE FORMULE DE M. GENOCCHI (**). 



1 . Cette formule , retrouvée par M. Janni (***) , est 



i-c„,, + c„.,, + (-i)''C„.,„ = (— irc„._,., (I) 



On peut, ainsi qu'il suit, en conclure une autre, beaucoup plus générale. 

 D'abord , le changement de p en q donne 



1-C„,, + C„„,---t-(— 1)" G,,,,, -t-(—l)''+'C,„„+, + •••+(— 1)'C„,,,=(-1)'C„_,,,; 



et, par soustraction, 



c.„.„+.-c„.,+, + -H-(-ir'-'c„„,=(-i)"^'r„,_.., + c„..,.,„ 



résultat que l'on peut écrire ainsi : 



C/„-c,„+, + •■• + (- I y» c,,, = (-ir» c,., + c,..„_. (2) 



(*) Nouvelles Aiinales, 1866, p. 521. 



(**) Depuis que ceci est écrit, mon illustre ami a succombé à la maladie et aux infirmités 

 dont il était affligé depuis longtemps. Sa mort est une grande perte pour la Science. 

 (***) Nous l'avons déjà citée {Note I, 7). 



