D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE. 47 



2. Soit, maintenant, à évaluer la quantité 



A = aC„,, -(«-+-<?) C„„,+, + (a + -2S) C„,,+., ^ {^ {)- [a + qS) C„,,+„. (3) 



Considérons la quantité auxiliaire 



B = aC„,,+, -(a + J•)C,„,,^,^-(a-»-2(?)C,„.,+3 + (- if {a + <7d-)C„.,^^+,. 



Par la formule connue : 

 nous aurons 



A + B = aC„^,.,+, - (a -f-<?) C,„^,,^, + ■ •• + (—!)'(« + 7^) C„+,, ,+,+•• • W (*) 



Mais il est visible que Ton a, aussi : 



A + B = a C„,, + {—i)" [a + qi) C,„. ,+,+, 



(5) D 



Faisant, dans la formule (2) : 



/ = m, 3=p-+-1, h = p-i-q, 



on obtient, comme valeur de la somme entre parenthèses : 



(— 1)'C„._,, ,,+, + €„._,, „. 



Conséquemment, 



A + l5 = aC„„„ + {-1)'(u + 7<î) C,„.,+,+, -4- d^[(— l)'C,„_,.,^- C„..,,,J; 



OU, par la remarque ci-dessus, 



A = aC„_,„., + (- l)'(u + ç<?)C„.,,,|, + <?!(- 1)'C„,_,„+,._, -C„._,,,_,J; f") 



OU enfin 



a C„., - (a -t- (?)C„,,^, + (a -H 2<?)C„,^, + (- 1)'(a + 7<f) C„,,+, j ^^^ 



Telle est la formule annoncée. Elle reproduit celle de M. Genocchi, quand 

 on y fait a = i, p = 1, â = 0. 



(*) Ainsi, la somme A + B se déduit, de A, par le changement de ?» en m -h 1, et de 

 p en ;j H- 1 . 



(**) Cet artifice, absolument élémentaire, est fondé sur la définition des progressions par 

 différence. Nous pensons qu'il est souvent applicable. 

 (***) Ceci suppose p'^0. 



