48 NOUVELLES NOTES 



3. Remarque, a et Jetant arbitraires, Tégalité (A) se partage en deux; 

 savoir (*) : 



C,„, p+2 — 2C,„, ,,^.3 + ûC„,,p^.j — •• -H ( — IfÇ'C,,,, p^,^i 



(C) 



= (- ly-'çc,,,,., ,+,+, + (—t)'-'c,„_2.„+, -4- c,„_2,,. ) 



L'égaillé (B) est une conséquence immédiate de la formule de Genocchi (d); 

 l'autre résulte, assez simplement, de la relation générale 



(1 + x)'' + Cp_,,iX(l -4- a:)''-' -t- C,_,+,. 2X^(1 + xf'° -+-••. + Cp.,,,a;' 

 = I ^- C„ iX-t- C„,jX^+ •■• -f- C a,-'', 



■ (6) 



démontrée dans la Note \. 



Pour le faire voir, j'observe d'abord que, si l'on prend les dérivées des 

 deux membres, et qu'on fasse, dans ces dérivées, x = — 1, on a 



Le premier membre égale 



(- !)■'-' [c„_,.,_. -H q (;„_,,,] = (- ir'pc,,,,,-,. 

 Nous avons donc celte relation forl simple : 



c,,, — 2C,,2 + 5C,,3 + 7(— ir'<^.,, = (-l)''"'pC,.2„_, . . . (D) 



On en peut conclure des propositions (connues) relatives à la Théorie 

 des différences. 



4. Suite. Soient pour abréger : 



(l+ïy'+C,,_,,,,j-(l4-xy''-' + C,,_,._^,,2X-(1+x)'''-^ + --- + C,_2,,._,ï'''-'(l+x)-.-C,_,,,,,x'' = Q'; (8) 



et, par conséquent (6) : 



C;,. ,+. x"+' -+- C„ ,+2»;'+' H- • • • -H C„„.x'' = Q' — Q , 

 OU 



C.,,+>-*-C„,+,x + C,„H3X^ + ----t-C,„,,x''-"-'=^-=j^ .... (9) 



.•î+i 



(*) Par le changement de p en p -v- 1 . 



