4 [NOUVELLES NOTES 



2. Remarque. Si, au lieu du second développement, on avait 



/■(x) = B„ + B,x-+-. . + B„_,x"-' +B„;" + B„+,z"+' -.-.., 



les conclusions précédenles subsisteraient. 



3. Lemme il Les séries étant supposées convergentes, on a 



q q(q — I) q x o(o -+- 1)/ i \* 



1 1.2 1 1 -t- X \ .-À \i -\- xl ^ 



En effet, le premier membre est le développement de (4 + a?)'; et le 

 second, celui de fi — j^\ "' = (1 + a?)'. 



4. Remarques. L Si q est un nombre entier, le premier membre se réduit 

 au polynôme entier (1 -}- ^y. .'. u moyen de l'égalité (i ), ce polynôme entier 

 est développé en série convergente. 



H. En particulier, toute puissance, entière et positive, d'un nombre 

 quelconque, est développable en série convergente. 

 Par exemple, 



.= = 8= . -. 3(1) . g(1)V to(i)V i5(i)V .1 (i)V . . . 



IlL Si, dans la relation (1), on remplace x par x — 1, elle se transforme 

 en 



IV. Il résulte, de régalité(2), que tout polynôme entier est développable 

 en série convergente (**). 



(*) La série est convergente quand x surpasse i . 



('*) Cette propriété comprend celle qui est indiquée dans la Remarque II. 



Par exemple, 



\-t-x-hx' + x' — i + 6 (-^) -+-'0 [~~") '*'''' (" ' -^- • •■■ 



et, plus généralement. 



i -t- X -i- x'- -h ■ i- x' - ' = n + Ci 



(V^)-^-+-(V)'- 



