D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE. 



3. Théorème \. n élanl un nombre entier, on a, identiquement, 



(1 H-x)"-' + C„,a;(i -Hx)"-*-4-C;+,,,i'(l + x)-' + ■■■-*- C,+„_,.,_,x' 



n- I . 



(A) 



Multiplions, par (1 -f x)"-', les deux membres de Tégalité (i). En 

 supposant z = j-^, nous aurons 



-4-[l5„z"-<- B„+,z"+'-+- ...](l + x)"-'. 



La première ligne du second membre est réductible à la forme 



B„ + B,x -I I- B,_,x"-'. 



Donc, d'après le Lemme I, elle égale, identiquement, la somme des n 

 premiers termes du premier membre, développé suivant les puissances 

 de X. C. Q. F. D. 



6. Remarque. Si Ton fait q + n — 1 = p, la relation (A) devient 



(I + x)" ' -+- C,.,x(l -t- x]"-'-' + C,+,,,x'(l -4- x)" '-* -....-+- C,.,„_,x'-' 

 = 1 -t- C,.,x + C„.,x' -H ... H- C,.,x'-'; 



OU, par le changement àe p — q en q : 



(1 H- x)' -^ C,.„,x(l -*- X)'-' + C,_,+,,x'(l -+- x)"-' -^ .-. ^- C,_,„x' j 



= I -+- C,„,X -V- C,,jX' -.^ • ■ . -4- C,.,x'. ' 



7. Relations combinatoires. 1° Faisant .r = 1, on a 



2' -*- iJ'-'C„.„, -.- 2''-'C„_,+,., + . ■ • -H C„_,„ = 1 -♦- C„. + C,„, + . . . + C,.,. . (3) 



2° De même, pour x = — 1 : 



•-C,.,-4-(V., -»^(-l)'C,., = (-l)'C,.,, (4)0 



(*) Formule de M. Genocchi. Nous y reviendrons. 



