D'ALGEBRE ET D'AINALYSE. 7 



Prenons, dans le triangle, deux diagonales commençant par d, et 

 composées de « -f 1 termes. Par exemple, si ç' = 7, 7' = 5, n = 3 : 



1,5, 6, tO; 1,5,15,33; 



puis renversons celle-ci. Faisant alors la somme des produits dont les facteurs 

 se correspondent, nous obtenons 



1 X 35 -+- 3 X I0 + 6 X -t- 10 X 1 = 120. 



Conformément à la relation (C), le nombre \ 20 est le quatrième terme 

 de la dixième ligne; et 10 = 7 + 5+ 1 — 3 (*). 



9. Théorème III. 5« « + /3 = i, et r/iie p + q = m, on a 



u" + c„,,a"-'p + . . . + c„,^^-= 1 -H c,.,i3 + c,+,.,e« + . . . + c„.,.,.,p^ . (D) 



Pour démontrer cette identité remarquable, à laquelle Poisson est parvenu 

 par la théorie des probabilités (**), il suffit de supposer, dans (A) : 



10. Remarques. I. A l'endroit cité. Poisson emploie la transformation 

 donnée par son théorème, afin de réduire, en intégrale définie, la somme 

 des «/ + 1 premiers termes du développement de (« + /3)"'. En 1867, 

 nous avons fait voir (***) qu'il est très facile d'opérer, directement, cette 

 réduction. 



11. Le Théorème II peut être énoncé ainsi : 



La somme des p + \ premiers termes du développement de (\ — /3)~'', 

 midtipliée par a^, égale la somme des p + 1 premiers termes du dévelop- 

 pement de (a. -+- /3)"'. 



(*) Dans le petit Mémoire intitulé : Théorèmes et Problèmes de Probabilités, nous avons 

 démontré des propriétés analogues à celle-ci. 

 (**) Recherches sur la probabilité des jugements, pp. 189, 190. 

 (***) Bulletin de l'Académie. 



