8 NOUVELLES NOTES 



m. A cause de « + /3 = 1, on a 



Soient : 



(a -t- p)'" = s,^, H- R,+„ (I - 3)-' = s;,, -t- r;^. 



Alors, en vertu de la dernière Remarque, 

 ou 



R;^. = (i-r'[(« + r-V']- 



Donc: Z)a»5 /e développement de (1 — /3) ', /e reste, coi'respondant à 

 l'ensemble des p + 1 premiers termes, est le produit de la fonction proposée, 

 par la quantité 



IV. Si l'exposant m est un nombre entier, cette proposition s'accorde 

 avec celle que nous avons établie dans une précédente communication (*); 

 mais on peut la présenter sous une forme un peu plus simple. 



H. Soit, en changeant de notation, 



(i_x]-'' = S„-+-R„, 



OU 



(I - a;)''R„ = 1 _ (1 _ ocy\\ -f- ^x + ^'^^ "^ '^ ^ -♦-...+ gx'A 



D'après le Problème des partis (**), le second membre égale 



r w, , n(»J -4- 1) ~\ 



X" h + -(1 - X) + "Y-g—C - X)' H- . . . -H /i(l - X)"-' 



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(*) Bulletin de l'Académie, août 1888. 

 {**) Mélanges mathématiques, t. I, p. 67. 



