D'ALGEBRE ET D'ANALYSE. 



Ainsi 



R„ = {i —xyx" 



AiUremcnt dit : 



n )((;« -t- I) "1 



1 -H -(l-x) -t- ^-p-^(1-x)'-f- •■ •-+-/,(! -x)"-'. . (7) 



Dam le développement de (1 — x)'^, le reste R„ esl le produit, par un 

 polynôme connu, de la fonction proposée (*). 



C'est la propriété rappelée ci-dessus. Riie exige que n et p soient des 

 nombres entiers. 



II 



RELATIONS ENTRE DES INTÉGRALES DÉFINIES. 



1. Formule générale. Supposons, pour fixer les idées, que u varie de 

 à 1, 07 étant une constante. Considérons Tinlégrale 



X =/'(/[«'/■(« -t-a;)], 







l'exposant q étant positif, et f(u -\- x) restant finie et continue entre les 

 limites de l'intégration. Il est clair que 



X = /'(l +x). 



Mais, d'un autre côté, 



X = g/'u'-YC" *- x)du -^-fuif'iu H- x)du. 







Donc 



f{i + x)^q f'w-'f{u + x)du ^-/'u^f{ii -hx)du{*'') (A) 



(*) D'après l'égalité (7), ce polynôme est divisible par x"; ce qui ne résulterait pas de 

 la formule (6). On voit pourquoi nous avons fait usage de la transformation citée dans la 

 note précédente. 



(**) Ce procédé est Vinlégration par parties, présentée d'une manière particulière. 



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