10 NOUVELLES NOTES 



On a ainsi une relation simple cnlre des intégrales qui peuvent avoir des 

 formes très diiïércnles, du moins en apparence. 

 Si, par exemple, 



l\u ^- ar) = .{■ [u -+- x) : 



C(| -i- x)^q I tii-' 0(i< + x)(hi -t- / " 



(lu (i) 



2. Application. Soit f(u -f a?) =- (?t + x)~"\ L'égalité (A) devient 



1-4-j-"* = 7/ m/ ; (2) 







ou, si l'on fait q-=- m — p: 



I + x)-" = (m —p)f m I ; rs) 







ou encore, par une transformation évidente : 



, ;:?:-/'/ ? sn • ■ • • (B)n 



[u -+- Xj'"+' J [u 4- Xl'"+' 







3. Remarques. \. Dans chacune de ces trois égalités, le premier membre 

 est indépendant de q (ou de /)). Donc, si l'on développe convenablement le 

 second membre, ce paramètre doit disparaître. 



Soit, par exemple, m = — 2. La formule (2) se réduite 



(I + X)' = qf'ti''-'{u -t- ifdu + 2y'«'(i* -t- x)du. 

 6 



Or, la valeur du second membre est 



X _i "1 



q -+ 1 "^ 7 -4- aj ' 



X X 1 

 u t) . J 



q 7 + ' q + 'i 



et cette quantité égale a?" + 2x + ^ • 



(*) Les [identitds (2), (3) et (B) tiennent lieu de celles que nous avons données dans le 

 Bulletin de i Académie (avril 18G7) et dans les Mélanges matliéinatiques (t. I, p. 298). Celles-ci 

 renferment des fautes typographiques. 



