18 INOUVELLES NOTES 



II. D'après la théorie de la décomposition des fractions rationnelles, le 

 premier membre de (G) a une valeur finie (*). Donc Tintégrale 



(Il -H xr+' 







est également finie; ce qui n'est pas évident a priori (**). 



III. Si p --- 0, (G) se réduit à 



r'^r-ÈL^__,,,^r "-% du (1.) 



./ (M -V a-)"' ./ (u H- x)"'+' 



U 



IV. De même, si p =- m — 4 : 



J [' (i,-i-xr\ u .1 (H i-a:)-' 



14. Une intégrale double. Par le changement de x en ^, la relation (C) 

 devient 



■•' u'"'''~*du 



^•" + C,„, .a™-';r + . . -H C„.,a" "X" = (p + l)C„.,,+.X'+'«-"(a H- X^^^ -^ 



m-t-l 



(x -t- at/)' 



(*) On suppose, bien entendu, p —m — i. 



(*•) Voir ci-dessus (10). 



(***) Suivant les Tables, le seul cas particulier où la dernière intégrale était connue, 

 est celui de m = 0, x -- 1. Le Mémoire de Plana [Académie de Turin, 1818), cité par 

 M. Biercns de Haan, a des parties excellentes; mais il en est qui sont absolument inadmis- 

 sibles; par exemple celle-ci : 



/fix COS OX rc 



/dX COS QX -^ (t" 3 

 =— -»- 3C — 

 x' '2 1.-2.Ô 



/dx COS ax "■ a* 



~x^ "" " 2 1.2.5..t.5 



t 3C° — 3C" -+- « , 



» Or, en substituant ces valeurs dans celle de / -- — -^ , û est évident que toutes les 

 » quantités affectées du signe oo se détruisent mutuellement » .' 



