SO NOUVELLES ÎSOÏES 



Ainsi : 



(;}+ g -f l)C„_,,p+,^., = (jn— l)C„^,,p^.,, (12) 



C„.-,,p=fp + 1)C„_,,,— mC„.5.,_ (13) 



. La première est évidente et la seconde se vérifie très facilement. 

 6. Remarques. 1. Le changement de m en m -f- 1 donne 



{p+ \) C,„., = C„._,, , -4- (m + 1 ) C,„ .,, ,_,. (F) 



De là résulte une construction, peut-être nouvelle, du triangle arithmé- 

 tique (*)• . 



IL La relation (F) équivaut à celle-ci : 



l = {p+ i) {m+ i) 



m — p m —p 



applicable à l'Analyse indéterminée. 



III. Dans (F), le second membre est divisible par p + i. 



7. Cas particulier de la formule (A). Prenons a -= 1 , ;? -= 2, /; = ^(**)> 

 q = — ^ ; d ou p -\- q ^ m — 1 . 



La relation 



aC,„.p - (an S) C„„^. -. (a+2<î) C„,,+, + (- 1)' («-^ 9'^)C».,p^, 



devient 



m— 3 



C„ -^l' — 3C,„ m+3 + • +(—!)' (»î — 2) C,„,„ _, 



's '2 



= C„_.. n^ + (- 1) * (m - 2) -^ 2 [^(- 1) ^ - C,„_, "- J. 

 (*) Elle est moins simple que le procédé classique, basé sur la formule 



Cm, p= Cm-l,p •+" Cra-I,p-|. 



(**) Donc ?n est impair. 



(A) 



