D'ALGEBRE ET D'AINALYSE. 55 



Il est clair que D„ est la partie réelle de 



OU de 



i — cos"(p.e"?'^~ (i — cos"9.e"'''^~')(l — cosç.e?^"') 

 Par conséquent, 



1 — cos'tp — cos"(p coswqj -4- cos""*"'(p cos(« — i)<p 

 u = — , 



SI 11 9 



OU enfin 



cos"(p sinn — Itp 



D„ = 1 H ^. 



sin(p 



8. Remarques. I. Si l'arc <f est compris entre et ' (exclusivement), 

 et que Ton fasse croître n, on a 



limD„ = 0; 



ou, ce qui est équivalent, 



cos 2(p ■+- cos (p cos 5(p 4- cos'ç cos 4(p -+- • •• + cos"~'ç cos (n + 1 ) ç -t- • • • = — \. (1 9) (*) 



II. L'égalité (18) donne, plus généralement : 



cos"+'(psinM(p 



cos(p.cos(B -h cos(pcos2(p -t- ••• + cos"(pcos«ç = . . . (20) 



^ sinç 



9. Problème V. Évaluer 



E„ = sin2(p -+- 2cos(psinô(p -t- 3cos'çsin4(p + ••■ + Mcos""'(psin(»J -t- l)(p. . (21) 



A cause de 



sin (»j -+- 1 );p ^ sin Hcp cos (p -+- nos n'-f sin cp, 



le dernier terme se décompose en 



ncos"(p sinny -+- ncos"~'(p sincp cosncp. 

 (*) Formule connue. {Traité élémentaire des séries, p. 77.) 



