S8 NOUVELLES NOTES 



3° La démonstration donnée par M. de Longchamps (*) est, peut-être, 

 difïicile à suivre. 



IL Soient : 



1 >«, >«2> ■ >«„> • >0 (lima„=.0) 



Considérons le produit 



P„ = (l M. a,)(l -.- «,)...(! +«„> (1) 



et la somme 



S„ = a, -1- «2 ■. • f a„ (2) 



Lemme L Si la somme S„ est divergente, le produit P„ est divergent. 

 En effet, P„ surpasse S„. 



Lemme 11. 5/ la somme S„ est convergente, le produit P„ est convergent. 

 On a 



.h:p,-=.'C(i -^ «,) H- 0(1 + «.) -H ••• -t- <:{i H- a„). 



Tous ces logarithmes sont positifs. Donc, à cause de la formule 



0(1 -. x)<x, n 



leur somme est moindre que S„. 



Autrement dit, P,„ supérieur à l'unité (***), tend vers une limite. 

 Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : 



Théorème L Le produit P„ est convergent ou divergent, selon que ta 

 somme S„ est convergente ou divergente. 



(*) Journal de Malhématiques , janvier 1889. 



(**) Cette inégalité, dans laquelle x est 2)ositif, équivaut à celle-ci : 



Or, 



X a;' 



c' — 1 -\ \ h ■■ : 



1 l.-J 



etc. 



(***) Évident a priori. 



