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Mais il est facile de prouver qu'il équivaut au précédent. A cet eCfel, nous 

 établirons la proposition suivante, que nous croyons nouvelle : 



Théorème III. Les sommes 



S^-1^.. ^^ -, ....-^-, • . . (8) 



'■ I - fî, l—p, I — p„ 



sont, simidlmiémenl, convergentes ou divergentes. 



1° A cause de -^ > /3,„ si la somme 2„ est divergente, la somme S„ l'est 



aussi. 



2° Supposons que la somme 2-. soit convergente. Nous avons 



" -"■ I - p/ 1 - P.2 i—Pn 



Les termes du second membre sont, respectivement, moindres que ceux 

 de 2.0 s'ils satisfont à la condition 



P„ 

 ' - h 

 ou 



P,.<1 i'') 



D'après les bypotbèses précédentes (3), la fraction (5„ a pour limite zéro. 

 Donc, à partir d'une certaine valeur de n, l'inégalité (il) sera constamment 

 vérifiée. En conséquence : si la somme "^„ est convergente, les sommes 

 S,. — 2» cl S„ le sont également. C'est ce qu'il fallait démontrer. 



6. Dans les sommes (9), (8), faisons B„ = sin %,. Nous aurons 



2.> ^ sin^â, -i- sin-e. h ■ ■ i sin*«„, ........ (12) 



s„=-ig'«. • ^^%-> ■•• ' 's'«..' C^) 



^ > e, > 6, > - > e„ > .. > 0. (lim . e„ = 0). 



