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NOUVELLES NOTES 



Donc, si [j. est pair, 



(2cosx)''~' sinx = A, sin X -+- A3 sinSa; -t- As sinbx -t- • H-sin^tx; . . . (1) 



et, si /x est impair : 



{2cosï)'''^' sinx = A2 sin2x -*- Aj sin 4x -*- Aj sinGx -H --Hsin^x. . (2) (*) 



2. Délermination des coefficients. En considérant le premier cas, soit 



(2cosx)''"'' sinx = ^ AiSiriix. (\ impair) (3) 



1=1 



La méthode de Fourier donne 



A, =- / (2cosx)''~' sinx.2sin«xrfa:, 



OU 



2^— ' r pv 

 A,- = I / cos''~'x cos [i — \\xdx ■ 



r 



En générai, 



/ cos''"' 



X cos (i + \)xdx 



(4) 



cos''x cos fyxf/x = — C^, ti (**). 

 



La première intégrale, dans la formule (4), égale donc 



et la seconde. 







En conséquence 

 puis 



A, = C^...Mpi-C^_../'^.^; ■ . (S)r*) 



(2 cosxf-' sinx= 2[C^.,,^^— C^_, îi_LzJ]siniX (aimpair) ... (A) 



(*) On arrive plus rapidement à ces relations, en partant de celle qui donne cos ''a-, au 

 moyen des cosinus des multiples de x. 



(**) Uecherches sur les fonctions X„, deuxième Mémoire, p. 22. La démonstration suppose 

 p'y (j', ce qui a lieu dans le cas actuel. 

 (***) Cette formule est en défaut pour i = a; mais on a vu que Au = 1. 



