D'ALGEBRE ET D'ANALYSE. 67 



3. Remarque. Lorsque // et p sont pah's, un calcul, semblable au précé- 

 dent, donne 



{•ico&xY-'sinx ^yrc^ , 'tzp— C,j._,V^LEzl'\sïnps (13) 



,,=2'- ^ * -I 



4. Propriété numérique. Dans (A), multiplions par dx les deux membres, 

 et intégrons entre et j. Nous trouvons 



ou plutôt, en développant, et en transposant le terme - : 



(C) 



Si /x est premier, la fraction =^ — ^- est réductible à un nombre entier, 



d'après le théorème de Fermât. Il est facile de reconnaître que chacune des 



parties du second membre est également un nombre entier. 



En effet, soit 



1 



n étant impair. Posons n = p — 2/*:. Alors 





ou, par un calcul évident, 



M- ^•-•^- -^-^ 



1.2. . /,■ X I . 2 . . . ^ — fr 



Donc, d'après un théorème connu (*), N est entier (**). 



(*) Mélanges mathématiques, t. II, p. 301, VI. 



{**) Ce nombre entier égale - C,,,*. Par conséquent, l'identité (C) ne diffère pas de celle- 

 ci, laquelle est évidente : 



Néanmoins, nous avons cru devoir rapporter cette égalité (C). 



