68 NOUVELLES NOTES 



3. Remarques. \. En général, si n et ^ sont de même parité : 



C^_,,'f^-C^.-,.^i=^^ = ^C^./i_i" (D)n 



H. 5/ n et ^ sont premiers entre eux (**), le premier membre de (D) est 

 divisible par n (***). 



in. L'égalité (A) prend la forme simple : 



fi(2cosx)'^"'sinx = 2 «C^_/i_'sin«x. {f^ impair, i impair) (E) 



6. Application. Soit [x ^ 7. On doit avoir: 



7(âcosxfsinx = Cj^jsiiix -+- ôC-,iSinôx -+- 5C,,|Sin3x -+- 7 siii7x; 



OU, après la suppression du facteur 7 : 



(2 cos x)' sin a; = 5 sin X H- 9 sin 3x + S sin 5x + sin 7x. 



Or n : 



sin 3x = 5 sin X — 4 sin "x , 



sii) ox ^ Ssinx — 20sin°x -4- 16 sin 'x, 



sin7x = 7sinx — 36 sin ^x -v- HSsin'x — 64sin'3;. 



L'égalité précédente devient donc 



(2cosx)«=5-+-9(.ï-4sin'x)-i-5(S-20sin'x-t-l6sin'x)-+-(7-56sin'a;-Hll2sin'x-64sin'x) 

 := 64 — dit2sin'x + "192 sin 'x — G4sin'*x; 



puis 



cos^x = 1 — 5sin'x -t- ôsiii'x — sin'x = (t — sin'xf ; 



etc. 



(*) Par exemplu : 



^ . 5 , i 



l-8,î — < 8, I — - (lO.li r,9 5 — Cs.J = — C10.3; 

 il 1 II 



etc. 

 (**) Par conséquent impairs ; ces nombres étant de même parité. 

 (*'*) Voir la démonstration précédente. 

 n N. C. M., t. VI, p. 103. 



