D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE. 69 



XI 



SUR UNE QUESTION DE PROBABILITÉS (*). 



Problème. Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre, avec des probabilités 

 égales. Avant d'entrer au jeu, ils possèdent, chacun n francs. A chaque 

 coup, le perdant donne if au gagnant. La partie finit dès que l'un des 

 joueurs est ruiné. Quelle est la probabilité quelle finira au i^'^""^ coup (**)? 



Ce problème, célèbre el diiïicile, a été traité par divers Géomètres, parmi 

 lesquels nous citerons, seulement, Laplace, M. Rouché et M. Delannoy. 



\ . Solution de Laplace (***). Elle est fondée sur les fonctions génératrices, 

 et sur des développements en séries, absolument inadmissibles. 



2. Première solution de M. Rouché ("). L'Auteur trouve une formule 

 que Ton peut écrire ainsi : 



p.^_ \ _.|Vcos''-' -sin '- (A) (') 



3. Deuxième solution de M. Rouché. A la formule (A), l'Auteur substitue 

 celle-ci : 



" TU) 



""'it-i^'-lrl'^"- 



(*) Un extrait de cotte Note a été communiqué à la Société Mathématique de France 

 (séance du 17 juillet 1889). 



(**) C'est-à-dire, quelle eut la probabilité qu'après ce coup, donl le rang est [ji, l'un des joueurs 

 sera ruiné 1 

 (***) Théorie analjitique des Probabilités, 1812, pp. 225 et suivantes. 



(") Comptes rendus, 23 janvier 1888, p. 2o6. 



Cl Nous avons remplacé k par )> -i- 1, et nous avons fait usage d'une correction indiquée 

 par M. Rouché, à la page 338 des C. R. 



(") Comptes rendus, 30 janvier 1888, p. 340. Au lieu de '-^(~')^ " ^^yg écrivons -— . 

 parce que n et |j. sont de même parité. 



