72 rSOUVELLES NOTKS 



8. Application. Soient n = 3, //. - 43; (roù / = 0, l -= \ ; puis 



5 5 „ 5 245 



P = fC,3 6 — ôC,-,j] -. [1287 - 5 . 78U- — 81 = . 



2'M5'- '^ !2'^ 13'- •' -2" 409C 



9. Comparaison avec (A). D'après celte formule (A) : 



• '^\ o w('^^-^- 1)=^ (2), -hDtt 2 ,T 3- 



p =- > ( — • I) cos sin = - cos' - sm -. 



3j;é!, 6 3 6 6 



On a : 



Donc 



2 /3\'' I 5» 243 , 

 p = - - - = - = (*). 



3 \4/ 2 4" 4096 ' 



D'autres vérifications réussissent égalemenl. Il y a donc lieu de croire 

 que les formules (A), (E) sont exactes. De là résulte l'identité hypothétique : 



'T(- l)>cos'--' ^^'"^^^'' sin^-^liJ^ ^ — y(- |)>(2a + 1)C, ^^^ihlh. (F) (") 

 é„ ^ ' 2n 2ft 2'' V)-^. ^ f"- i ^ '^ ' 



\ 0. Réduction du premier membre. Soit 



),=,,- 



(2x + I )7r . (2a ^- I )7r 



S=2(-')W-.^=^^^sin-^;^ (,) 



j^ 2/t 2h 



(*) La formule (B) donne, au lieu de ce résultat, 



_ 3 r(l5) _ 5 12.11.10.9 



~ ■F' m5)i'(ii) ~ 'î"T7-2.ô.i.5 ' 



Ainsi que l'a remarqué M. Delannoy, cette valeur de P est le premier terme de (D) : 

 M. Rouché a négligé tout le reste! 



(**) Cette idenIJté (F), que nous allons vérifier, est, sans contredit, l'une des plus curieuses 

 que l'on connaisse. Peut-être pourra-t-on en tirer de nouvelles propriétés des racines de 

 l'unité. 



