D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE. 77 



2. Réduites. Soient, pour abréater, A, B, C, D les premiers membres des 

 équations (2), (3), et «, /3 des facteurs numériques. On a 



Î^^Zli = aAB = jîCD (5) 



x^ — I 



Donc les équations 



A = (), C = () 



ont des racines communes, a|)partenant à l'équation 



A-C = (6)0 



Or, 



A — C = 2p(PV — QV + 2V/p(MPx'— NQ)x'— ^2l-^?^(MQ — NP)x* 

 = -2x l/p(Px — Q)[1'''HPx -t- Qjx -4- Mx -4- IN]. 



En négligeant le facteur x(Vx — Q), nous avons ainsi, au lieu de l'équa- 

 tion (6) : 



l/^(Px -H Q)x -f- Mx -H N = (7) 



Telle est Tune des réduites de la proposée. Les trois autres, qui s'en 

 déduisent immédialement, sont 



l/^(Px — Q)x-Mx-4-N = 0, (8) 



— »/p(Px-4- Q)x -f- Mx H- N = 0, (9) 



— k'p(Px - Q)x — Mx -♦- N = G (10) 



3. Remarques. \. Chacune de ces réduites est du degré de N, savoir : 

 ^ (**). Donc, à cause de N = 2 pour a? = (**'), nous avons cette 

 identité : 



16(a"'-' + x]"-* -4- . . . + x'^ -4- I ) = [(Mx + Nf — p(Px -4- Q)V] [(Mx - N)^ — f[Vx - Q)'x']. 



(*) Si les polynômes A, C étaient premiers entre eux, A diviserait D; et cette conclusion 

 ne diffère, de la première, que par un changement de lettres. 

 (**) Legendiir, Théorie des Nombres, t. I, p. 195. 

 (***) Loc. cit. 



