78 NOUVELLES NOTES 



IL On peut la mettre sous une forme plus simple. 

 Soient 



Y = Mx -t- N = tp;x), - = Px -t- <p = i^{x). 



Alors 



— Mar -4- N = ip' — x) — Px -t- es = (|'( — x). 



Donc 



16(x"'-' + x"'' * H- •■• -t- x^ -f- I) = [cfV) - px'Vi^]] [f(~x) — px''\>\— X)] . . (A) 



111. Les diverses parties du second membre sont divisibles par p, 

 excepté [/yx)(i( — x)]-. Si Ton suppose x = 1, le premier membre devient 

 16/;. Conséquemment : des deux quantilés ^(l), y( — 1), une, au moins, 

 est divisible par p (*). 



W. Le facteur ^'{x) — px^\x) est, d'après le théorème de Gauss, égal à 



't[x'-* + x''-' +•••-♦- X -4- 1). 



Par conséquent, le second facteur égale 



4(x''-' — a"-^ -4- X -4- 1 ) , 



et la relation (A) se réduit à celle-ci : 



a;2"-' -4- X*"-' -4- . . . -4- X-' -H 1 =(x''-' -4- X'' -'-♦-.• • -4- X -4- 1 )(x''-' — X''"' -4- X -4- 1 ), (B) 



laquelle est connue et presque évidente (**). 

 4. Application. Si /; = 43, on a 



(p(x) t= 2x° -t- x" + 4x* — x' + 4x- -4- X -t- 2, 

 ^l>(x) = x' -4- x' -+- t (***) ; 



(*) Voir, sur ce sujet, le Mémoire cité (p. 54). 

 (**) Nous y reviendrons. 

 (***) Legendre, Théorie des Nombres, t. Il, p. 19S. 



