D'ALGEBRE ET D'ANALYSE. 79 



donc 



cp( — x) = -Àx^ — x* -H 4ar' + x'^ + ix^ — x -> 2, 

 4i( — x) = X* -+- x' -t- I ; 



puis, au lieu de (A) : 



1 6(a;" -4- x^ -t- X*» -H x" -+- x"^ + x'» + x" + x'" -f- x« -h x« -♦- .r* + x' -f- 1) 

 = [(2x' -+- X» -»- 4x* — x' -4- 4x^ + .r + 2f — 1 3x^(x* -t- x' -+- 1)'] 

 X [(2x« — x" -»- 4x* -f- x' -+- Ax' — X -+- 2]' — 1 3x^(x' h- x' -»- 1)']. 



Effectivement, le premier facteur égale 



4x"-4-x"'-t- lei' + x'-i -4- 4x" -4- ICx'»— 4j;'-+- IGx" -t- 4x' -t- •• 



-f- 8x' — 2x' -+- 8x' -t- 2x''' -t- 8x' -4- 32x» ^- I3x'(x» + 2x' -i- 3x' -i- •••) 



= 4(x" + x" -4- x'" -4- x' -4- X» + x' -4- X« -4- • ■ •). 



Il n'est pas besoin de continuer. 



5. Autre méthode. Reprenons Tidenlité 



x"'-'-4- X"^' -4- 4- x'+i =(X''-' + X»"-' •»-••• -4- X -4- l)(x''-' — X'"' H X -1- I). (B) 



conséquence immédiate de celle-ci : 



a;''' — 1 x' — i x' -4- 1 

 x' — \ X — i X-4-1 



Le théorème de Gauss, appliqué au premier fadeur, le transforme en 



i[f{x)-pxy(x)] 



De même, 



i 



jn^-i _ xP-* 



X -4- i = j [»■( — x) — px'i|;'( — x)]. 



Ainsi : 



lefx'"-' -+- x'"-* -H . . . H- X- + 1 ) = [f{x) — pxy(xy][f(— x) — px'^^x- x)] . . (a) 



