84 NOUVELLES NOTES 



IIL Dans la relation (27), le premier membre se réduit à +1, — 1 oa 

 zéro (*). Il en est donc de même pour le second membre. 



IV. Dans ridenlilé (28), le second membre équivaut à 



1 



5)"+'V^5 



-[(1 H- KS)"+' — (I —1/5)"+']. 



Par conséquent, pour toute valeur entière et positive de n : 



1 H- c„,.,. H- c,._,,, + c„_3,, ^ ••• = — ^[(1 + vly^^ - (1-1/5)"+'] . (29) r 



2"+' 1/5 



XIII 



SUR L'ÉQUATION a;" — 1 = (*")• 



\. Préliminaires. Soit m ^- pq, les nombres p, q étant impaii's et 

 premiers entre eux. Dans le petit Mémoire cité, j'ai démontré les propositions 

 suivantes : 



1° Si l'on fait 



(l_x)(l -X'"') 

 (1 —X'')[\ —X'') 



X, (1) 



et que l'on représente par (^{n) le nombre des solutions entières, non néga- 

 tives, de l'équation 



■pa + qb = H, (2) 



(*) Loc. cil., p. 10. 



(**) Cette égalité, qui démontre une propriété du triangle arithmétique, paraît due à 

 M. Édocard Lucas {Recherches mr plusieurs ouvrages de Léonard de Pise, pp. 9 et 10). 

 D'ailleurs, la valeur commune des deux membres est le n'''"' terme de la série de Lamé 



(ou plutôt de FiBONACci) : 



1, % 5, 5, 8, 13, ... 



{Manuel des candidats à l'École polytechnique, t. l, p. 86). 



(***) Complément et simplification d'une Note sur le même sujet, publiée dans les 

 Bulletins de l'Académie (1870). Un extrait de la Note actuelle a été communiqué au Congrès 

 de Paris, le 8 août 1889. 



