88 NOUVELLES NOTES 



IL Dans le premier membre, on peut changer p en q, et q en p. 



IIL Si Ton fait x = \, la fraction prend la forme \. La vraie valeur 



est \{p— i) {q — 1). Conséquemment, 



{ -4-(p(i) + 9(2) H — + (pipq — p — 9) = :^{p — '^)i<l — ^)^ 



ou, ce qui revient au même {*), 



(p(l) + (p('2) + -.. + (p(p-1)((/-l) = ^(p-1)(9-l) ('0) 



IV. Celte nouvelle égalité peut être énoncée ainsi : 

 De 1 à(\) — (^ — M indusivemeal, il existe autant de nombres ayant 

 la forme pa + qb, que de nombres n'ayant pas cette forme (**). 



8. Antre théorème. Dans ridenlilé (A), prenons a? = 2, et appelons N la 

 valeur commune des deux membres, de manière que 



2(î'-i!(7-i)(-2''-' — )) — [I -+- 2'' M- 2'" -+- • • ■ -+- S''-"-] 



^=- 2"_1 



(il) 



= I -4- 2.9(1) + 2'. 9(2) H -+- î!.>"'-<-ifpq -p—q). 



D'après Euler, le nombre entier N est, d'une seule manière, la somme de 

 plusieurs puissances de 2. Soit 2' un terme de cette somme. Alors 



(fie) = -+- 1 . 



Si, au contraire, 2^^ n'entre pas dans la décomposition de N, 



9(P) = 0. 

 Conséquemment : 

 \° La fraction 



2"'-'»'-' [2'-' — 1] — [I ■+- 2'' -4- S**" H 1- 2''-'"'] 



2'— i 



est réductible à un nombre entier N ; 



(*) A cause de 1 = 9 (;; — 1) (f/ — 1). 



n On ne doit pas oublier que p, q sont impairs, premiers entre eux. Ce petit théorème 

 résulte, immédiatement, de la relation connue : 



<f (n) + <f{pq — p — q - »i) = 1. 



{Bullelin, mars 1870, p. 18S). 



