90 NOUVELLES NOTES 



serait réductible à un polynôme entier (ce qui a lieu), si le numérateur 

 était composé de (</ — 1) binômes 



divisibles, chacun, par x'' — l (*). Cette condition revient à 



pa + qb = {p — \)(q — i)-\- i^ (12) 



OU encore, a 



Le second membre est compris entre (;) — \) (q — - \) et p(q — i). 

 Donc l'équation (12) admet une solution entière, non négative (**). En 

 conséquence : 



Le polynôme 



est décomposable, d'une seule manière, en(q — 1 ) binômes divisibles, chacun, 

 par x'' — 1 . 



1 2. Réduction de x" — 4 = 0. Reprenons l'égalité (4 ), en l'écrivant ainsi : 



f \=- ^X (13) 



X 1 X — 1 X — i 



La proposée (abstraction faite de la racine 1), peut donc être remplacée 

 par 



a;p-f ^- x""-' -+----4-x-(-l=0, (14) 



a;î-i ^. X'-' H -f-x-*-l=0, (15) 



X=0 (16) 



Chacune de ces équations est réciproque. Par conséquent, si l'on pose, 

 comme dans la Note XII : 



x + i=z = Z„ x»-H-=Z„; (17) 



X x" 



(*) On doit avoir l<g — l,[J.<9-i. 

 (**) Bulletin, p. 187. 



