APPENDICE. 675 



A l'appui de celte assertion, voici deux exemples. 



On fait un raisonnement tel que le suivant (Moigno) : Si un nombre 

 infini existait actuellement, étant plus grand que tout nombre donné, il 

 devrait contenir son carré, son cube, etc. Donc un tel nombre ne peut 

 exister. 



Déduction inexacte, attendu que le carré, le cube du nombre infini 

 seront eux-mêmes des infinis, et qu'on raisonne sur ce carré et ce cube 

 comme s'ils étaient finis. Un nombre infini est plus grand que tout nombre 

 fini donné et non pas que tout nombre infini (nombre qui est précisément 

 l'objet de la question). 



On peut en dire autant de la démonstration de Galilée, renouvelée de 

 nos jours, et qui repose sur la considération de la suite des nombres 

 entiers et de leurs carrés. Le rapport ^ du nombre n' des carrés entiers, 

 contenus dans la suite des n premiers nombres naturels, à ce nombre n, 

 diminue à mesure que n augmente. Si Ton supposait n actuellement infini, 

 la suite devrait contenir tous les nombres, donc tous les carrés des nombres. 

 Or c'est précisément l'opposé qui a lieu, car ^ diminue indéfiniment quand 

 n augmente indéfiniment. Donc il est impossible que n soit actuellement 

 infini. 



Déduction inexacte, parce que le nombre infini n est bien, par défini- 

 tion, plus grand que tous les nombres carrés et finis, mais non pas que 

 les nombres carrés et infinis (les nombres infinis étant précisément l'objet 

 de la question). 



Il n'est d'ailleurs pas besoin de compliquer la discussion par la considé- 

 ration d'une série particulière de nombres. Tout l'argument de ce genre de 

 démonstration se réduit à ceci : 



« Le nombre aciuellement infini ne peut exister, parce que, devant 

 renfermer tous les nombres, il devrait renfermer ceux qui sont plus grands 

 que lui. » Mais on ne présentera certainement jamais l'énoncé sous cette 

 forme, quoiqu'elle soit exactement équivalente aux formes précédentes : les 

 mots plus grands que lui feraient apercevoir immédiatement la confusion 

 du raisonnement. Ils feraient souvenir que ces nombres plus grands ne 

 doivent pas être pris en considération, puisque, par définilion, le nombre 

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