678 APPENDICE. 



que rapparilion de l'infini et de l'infinimenl petit en mathématiques a précédé 

 celle du calcul différentiel proprement dit. A cet égard, il suffit de rappeler 

 les idées nettes et hardies de Kepler, et ces Indivisibles de Cavalieri, que 

 Pascal a aisément et si bien (notamment dans son Discours sur l'esprit 

 géométrique) démontré ne pouvoir être que des infiniment petits (*), c'est- 

 à-dire ne pouvoir être de purs zéros (dont la somme, même en nombre infini, 

 ne serait jamais que zéro), mais devoir rester toujours de la même espèce que 

 la grandeur de laquelle ils procèdent par division infinie. Les idées d'infini 

 ayant été pour ainsi dire une semence jetée dans le terrain de l'invention, 

 celle du calcul différentiel a consisté, au fond, dans la remarque suivante : 

 A toute relation entre quantités finies, dépendantes l'une de l'autre, équivaut 

 une relation entre les accroissements correspondants de ces quantités ('*); 

 mais si ces accroissements sont infiniment petits, ils sont, dans leur ordre de 

 grandeur, liés par une loi de proportionncdité ; donc à toute relation dans 

 l'ordre fini équivaut une relation de simple proportionnalité dans l'ordre 

 infiniment petit (immédiatement inférieur). Par conséquent encore, en 

 géoméirie, à toute la géométrie des lignes courbes dans l'ordre fini corres- 

 pond la seule géométrie de la ligne droite dans l'ordre infiniment petit; il 

 suffit donc de passer de l'un de ces ordres à l'autre pour remplacer un 

 problème très compliqué par un problème très simple. 



Cette interprétation s'appuie explicitement sur la notion des accroissements 

 infiniment petits, et non pas sur celle des limites de rapports d'accroissements ; 

 et l'on trouve une singulière démonstration, qu'en effet cette action transcen- 

 dante a été le véritable principe du nouveau calcul, dans les termes mêmes 

 des premiers écrits par lesquels Newton et Leibnitz font connaître leur 

 découverte. 



Voici les paroles de Newton (dont on s'est permis de souligner les traits 

 décisifs) : Les « accroissements ou décroissemenls instantanés sont ce que 

 j'appelle » les « moments » des quantités. « Il ne faut pas entendre par là 

 des quantités finies. Les quantités finies ne sont pas des moments, mais les 



(*) Voyez la note de la page 681 . 



(**) Ce qui se traduit d'une manière concrète en géométrie par la remarque du caractère 

 inverse du problème des tangentes et de celui des quadratures. 



