694 APPENDICE 



ces réalités (exemples les plus simples : Yespace pour la réalité infinie ; l'arc 

 de courbe nécessaire et suffisant pour déterminer la tangente, pour la réalité 

 infiniment petite); 



2" Qu'en mathématiques, a) la notion de limite, 6) la notion d'infiniment 

 grand et d'infiniment petit ne peuvent s'exclure, attendu qu'elles ont pour 

 origine deux points de vue nécessaires sous lesquels les quantités doivent 

 êtres considérées : le premier a été celui des anciens; et c'est un fait historique 

 que l'introduction du second a donné naissance aux mathématiques modernes; 



3° Que la physique d'un côté (par là cette discussion s'imposait dans le 

 travail actuel), les mathématiques de l'autre, soulevant d'une façon inéluctable 

 la question de l'existence actuelle de l'infini et de l'infiniment petit, il 

 importe d'aborder nettement cette question dans l'enseignement et de la 

 physique et des mathématiques (*); que d'ailleurs toute solution qui fera 



(*) Il convient de rappeler ici la tentative faite par un géomètre belge très distingué, 

 pour réintroduire explicitement dans l'enseignement de la géométrie la notion de l'infini. 

 Voyez, dans les Mémoires de l'Académie royale de Belgique, tome XVII, 1844, le mémoire 

 de Dandelin Si»' quelques points de métaphysique géométrique. Dandelin a constaté ce qui 

 l'a sans doute été par maint professeur de science mathématique : intelligence non pré- 

 venue, l'élève a, pour parler à la manière de Descartes, l'idée de l'intini naturellement 

 engravée dans l'âme. L'infinité de l'espace, notamment, lui paraît évidente, et la suppo- 

 sition contraire absurde. On a d'ailleurs vu plus haut pourquoi l'idée atteinte ainsi par 

 intuition est effectivement juste (nous avons pris plaisir à constater, par cet exemple 

 et par d'autres, que ces notions d'évidence, mises en œuvre par les plus habiles comme 

 par les plus simples, fût-ce implicitement, et dont la force se mesure à la peine que l'on 

 prend parfois pour les combattre, sont réellement fondées en raison). Cela étant, faut-il, 

 dans l'enseignement, parce que la question est délicate, la passer sous silence et se 

 résigner, l'idée d'infini pénétrant la science quoi qu'on en aie, à la situation dangereuse 

 d'employer dans un sens inexact les mots qui l'expriment dans la langue, mots qu'on ne 

 peut supprimer eux-mêmes? Ne vaut-il pas beaucoup mieux avouer nettement qu'il y a en 

 géométrie des notions transcendantes qui, pour n'avoir pas le caractère facile des notions 

 purement concrètes de la science des anciens, ne sont pas moins nécessaires, qui surtout 

 sont inéluctables? 



La facilité d'appropriation d'une idée est aisée à confondre avec l'impression de rigueur 

 qui s'attache à cette idée; les géomètres, jaloux de la rigueur de leur science, sont natu- 

 rellement portés à bannir ce qui, en donnant plus de peine à l'esprit, peut lui faire de la 

 peine, c'est-à-dire peut lui faire croire au manque de rigueur. Mais il importe peu de savoir 

 ce que nous voudrions bien que la géométrie soit; la seule question est de savoir ce 

 qu'elle est. 



