4 NOTES D'ALGEBRE 



Par conséquent, la loi supposée est vraie, et il existe, entre deux poly- 

 nômes consécutifs, P„_,, P„, la relation 



2. On a 



dP 

 P„ = (t-a t i )-f^ + (2»-l)a;P„_ J (2) 



(IX 



-i „- 1.3.S...(2fl— 4) 



„ =(!_!«) 2 = S i-C ^ 2 "; (5) 



7 V ; ~, 2.4.6...2p ' V ' 



puis, en prenant la dérivée tt : 



tf*" *■ 2.4.6...2p ' v r ' v / i v y v 



3. La comparaison des formules (1), (4) donne 



s Ji±i„, 1.5.5... (2p — 1) 

 P„ = (l_z 2 ) * I 2 4.6 2p 2 P( 2 P- < )"-(^P- w -*- 1 )^~"i 



ou, si l'on développe (1 — n?)~ t ' : 



p _ y 1 .5.5-(2p-ï )2p(2p- \ )-(2p-»H -t ) ,„_„ y (2w+l)(2n-l)-(2n-a g +S) 



" ^ 2.4.fi...2p X ^ ( ' 2.4.6...2r/ ' 



Ainsi , le produit des deux séries est le polynôme entier P„. 



De là résulte que si l'on suppose 2y; + 2</ — »=*,*>», on aura 



y i+i l - P l.â.5...(2p-1)2p(2p-l)...(2p-M- t -1) (2>M-4)(2n— l)...(m-2p+5— «) _ Q 

 ^ 2.4.6...2p ' 2.4.6...(s + n— 2p) 



Soient, par exemple, m=3, s= 5. On doit trouver 



1.3 7.5 1.5.5 7 4.3.5.7 „ „„ „ 

 -—.4.5.2. .6.5.4.- + -.8.7.0=0; 



2.4 2.4 2. 4. G 2 2.4.6.8 



(*) Dans cette nouvelle somme , la variable 2p doit être égale ou supérieure à n. La série 

 dérivée (i) est convergente en même temps que la série primitive (5). 



