ET D'ANALYSE g 



ou 



5.5.7.3 — 5.0.3.7.2 + 3.5.7.7 = 0; 



ou enfin 



5— .10-4-7 = 0; 



etc. 



4. L'égalité (1) peut être écrite ainsi : 



.^= p „ (i - iV -=p.[ 1 ^- + ( ^m^...]. . m 



Conséquemment, le produit des séries (3), (i), à coefficients fraction- 

 naires, est une série à coefficients entiers (*). 



5. De# = (l — a? 2 ) -, ou 

 on déduit 



(1 — a- 2 ) y' — xy = 0, 



(* — a%"— 3a#'-y=o, 



(i — x 2 )*/"'— 5xî/" — 4*/'=0, 

 (t — x 2 ) y" — 7xy'" — 9y" = 0, 



(1— x 2 )!/'" — (2«— l)x,»/"-" — (n — 1) 2 y»- 2 » = 0; (8) 



puis, en vertu de l'équation (1), 



P„-(2n — 1)xP._,-(»-1)«(| _x 2 )P„_ 2 = (9) 



Comparant avec la formule (2), on a donc (par le changement de n en 



n — i): 



■^-"^ 00) 



(*) Si m =5, l'égalité (7) devient 



1 , 1.5 1.3.5 i 

 I -+- - a; 2 -t- — a;' h a; 6 -*- - 



2 2.4 8 . 4 . 6 S 



= (9a; -t- Gx*) (1 -+■ -la;' -t- 10a;' -t- 20a; 6 h- 35a; 8 H ) ; 



[' 1.3. 1.3.3. 1.3. S. 7 "in. 5 135 t 



I n^ + ï^* + ro #+ î^ïir + "j x lj^-*- > -*'*ixï-«- B -^+---] 



'"!!-+• 6a; 3 ) (1 -t- 4a;' -t- 10a; 1 -t- 20a; 6 h- 35a; 8 h ); 



= 9a; -t- 42a; 5 -*-114a; 5 -*- 240x'-h 455a;« - 

 ce qui est exact. 





