ET D ANALYSE. 7 



Par conséquent, m étant un nombre entier quelconque, la fraction 



.(»»+ l)(m+2)...2m 

 2 m 



est réductible à un nombre impair (*). 



8. A cause de la formule (15), on a 



1.2. 5. ..m-, 



p « = — -|; -2 C ».>- C »-«.^-(- x )' (17) 



Si » est pair, on doit attribuer à s les valeurs 0, 2, 4 , .... m; et, si n est 



impair, supposera = 1,3,5,....». 



9. Dans le produit des séries 



1.3.8... (fy— l)2p(2p — l)...(2p — «-4-1 



2~ 

 2(-«) 



2.4.G...2p 



(2m ■+- 1) (2» — I) . . . (2« — -lu -h 3) 

 2.4.6...2r/ 



supposons, comme précédemment (2), 2/j-f-2</ — » = s, ou 2gr=s+n — 2;;. 

 L'expression du coefficient de x s sera 



•c. , n î^!-, J-â.5...(2;) — 1)2p(2p — l)...(2p — « + ■!) (2» + l) (2n— l)...(/e-t-2p-+-5 — s) 

 " '' 2. 4. 6.. .2p 2.4.6. ..(s+K — 2p) 



Mais ce coefficient est A, l>s ; donc, par la formule (15), 



y ^ p \.ô.S...{-2p—i)-lp(ïp — l)...(1p — n+\) (2w-t-l)(2»- J). ..(«-+- 2p-«-5— s) 



-' ( 2.4.(i...2p ' 2.4.6...(s + «— 2p) 



1.2. 3... « 



— — ^ — c»,.-c„_,,»-». 



(*) Plus généralement: si p es< un nombre premier, la fraction 



(m-4- 1) (m -t-2) ...pm 

 p'« 



est réductible à un nombre entier, non divisible par p. En d'autres termes : Dans le produit 

 {m -+- i) (m + 2) ... (mp — \),le nombre premier p est m — 1 fois facteur; ce qui est visible. 



