16 NOTES D ALGEBRE 



La quantité entre parenthèses est la somme des termes de rang pair, 

 dans le développement de (x -f- y) 2 '' -2 . Autrement dit, cette quantité 

 égale [[(x +&)*'-* — (x — y )*»-']. Donc 



P-ly^-l^X + y^-^-jflpM], (4) 



puis 



± p, + 1, v, = 4 ?(2g _ d// (e i_ 1)(e u_ 7 ;) **; 







ou, par le changement de q en q -f- 1 : 



7 y (e ,sr * — i)(«*** — i) 4(qn-i)(2an-l) ' 



n 



3. Remarque. — Si l'on considère la surface ayant pour équation 



z 



(p* 1 — 1)(e 2 «— \) 



laquelle est asymptotique au plan xy ; le volume de l'espace limité par cette 

 surface et par les plans coordonnés est , non-seulement fini, mais commen- 

 surable. 



4. Remarque. — Si, dans les deux expressions de P, (3), (4), on 

 suppose x =y = 1 , il en résulte cette identité : 



I (<7 - 1 ) C 2î>2 + 2 (7 - 2) C*,,, -t- 5 (7 - 5) C„., -»- . . . + (q — i) i . C„, , = q [3q - 1 ) 4'" 1 . (6) 



Par exemple, 



10.9 10.9.8.7 10.9.8.7 10.9 



1 .4. h 2.5. h 5 .2. -t- 4. I . = 5. 9. 64. 



1.2 1.2.3.4 1.2.5.4 1.2 



(*) On doit prendre le signe — si q csl impair. 



